力学演習
単振動
難しい項目ではありますが、
解く手順が
ほとんど決まっているため、
パターンを身につければ
確実に得点できます。
単振動が出題されたら「チャンス！」
と思えるくらいに、
しっかり演習しておきましょう。
運動方程式
単振動は「ばね」
だけに限りませんが、
ここでは
ばねの例を使って説明します。
ばねの力による運動方程式について
ばねの力に関する運動は、
運動方程式を用いて表すことができます。
このとき、
加速度は変位の時間に関する
2次微分として表されます。
この式のように、
加速度がマイナスで位置に比例する形
になっているとき、
その運動は単振動と呼ばれます。
この形式は、
ばね以外のさまざまな単振動の問題にも
共通して現れるため、
しっかりと
理解しておくことが大切です。
一般解
単振動を表す運動方程式は、
加速度（位置の2次微分）が
位置 に比例する形の
微分方程式で書かれます。
この微分方程式は解くことができ、
その解は 三角関数（正弦関数）の形になります。
xがsinの式となり、vは、xの微分なので、
v はcosになります。
sinとcosの微分を習っていない場合は、
教科書、もしくはここで覚えてください。
(sin)' ：微分 = cos
(cos)' ：微分 = -sin
tの前に係数があると、
微分の時、
その係数が出ます。(置換微分参照)
この微分方程式 の解によって、
単振動は、x、vの式が確定します。
式の、A、 θは初期条件で決まります。
x = sin + cos の形式で書くこともありますが
このサイトでは x= sin( ω t+ θ ) で統一します。
ωは、角速度で、
角度が増える速度になります。
1周 つまり
周期T で、360°になります。
ω については、
運動方程式からm、kの関係があります。
xを単振動の式に入れればよいわけですが、
微分する毎にωが出るので、
2次微分でω^2 となります。
mω^2 = k となります。
大事な式です。
しかし、覚えるというより
2次微分でa = ω^2と
考えたほうが良いでしょう。
ωが出れば、
ωT = 2π より周期も出ます。
単振動は、以下の手順で解くことが基本です。
まず、
・運動方程式を立てる
・初期条件から振幅
初期位相 を求める
この2つを行えば、
時間に関する位置や速度を表す式が得られ、
ほとんどの問題はこの時点で解けます。
ただし、
まれに初期位相（角度） の
計算が複雑になり、
三角関数の扱いが
難しくなる場合もあります。
そのようなときは、
運動方程式ではなく
エネルギー保存則を使った方が、
計算が簡単になる場合があります。
単振動の式と運動
単振動の問題では、
数学的にどんどん式を展開して
解いていくことになります。
しかし、それだけでなく、
導き出した式が
本当に単振動の性質に合っているかを
式からイメージして
確認することも重要です。
これは、
計算ミスのチェックにもつながります。
■単振動 ⇒ 式とグラフの関係
単振動では、
位置や速度の時間変化を表す式が重要です。
それぞれのグラフを
イメージできるようにしておきましょう。
・位置（変位）は、中心を基準にして、
振幅の範囲で往復運動します。
・速度は、振幅の位置（端）で0になり、
中心を通過するときに最大値になります。
グラフのポイント：
・振動がプラスの方向のとき →
中心で速度最大（正）
・振動がマイナスの方向のとき →
中心で速度最小（負）
時間で見ると、振幅間は
T/2で、
振幅から中心までは
T/4となります。
よくある2例が以下です。
ほとんどの問題がこの2例です。
逆のケース
dを縮めるケースもありますし、
速度も逆ケースもありますが
ほとんど同じです。
実際の問題では、
単振動の運動は式を使って
解くことになりますが、
感覚的に
式をイメージできるように
なることも重要です。
ここで言う「中心」とは、
必ずしもばねの自然長とは限りません。
重力や摩擦力などの外力の影響がある場合、
中心（= 平衡位置）はずれることがあります。
この中心の位置も、
単振動を理解する上で大切な要素です。
■演習に入る前に
まずは、
単振動とその式の関係を
イメージで理解する演習を行いましょう。
単振動に自信がある場合は、
そのまま演習問題に進んでください。