単振動入門
解説
■単振動の式と動きに関する問題の解説です。
この問題は、数式だけに頼らず、
単振動の動きを感覚的に
理解することを目的としています。
すべてが
必須の基本問題ですので、
しっかりと理解しておきましょう。
問題はすべて、
単振動の中心での速度、
端で初期速度が0のような
条件のもとに作られています。
この条件下では、
式を感覚的に導くことが可能です。
また、sin と cos の式に
慣れることも目的の一つです。
初期条件が
中心以外に速度がある場合などは、
一般解から求めることになるので
注意が必要です。
一般的な式の求め方は、
次の演習で学びます。
a.
1)、2) 中心から、
ｄ縮めて速度０で
単振動を開始します。
初期条件は、
t=0で、x = － d 、v=0になります。
振動の折り返し位置になるので、
振幅はdです。
ちょっと動いたことを考えると、
位置は、x =－ dから、x=0に向かい
速度は v=0から+向きに
速度が増えます。
これをsin、cosのグラフ
最大、最小値で
T/2毎に折り返すような
グラフにします。
3) グラフから
位置は、－cos
速度は 、sin
だとわかります。
sin 、 cos の正負を
間違えないように式化します。
4） ωT = 2π は定義です。
ここからTを求めます。
vはxの微分
cosの微分は－ sinなので、
v = － dωsin(ω t) となり V1と比較します。
5) グラフから求まります。
ばね最大は、x = dなので、
t = T/2 になります。
T = 2π/ωより求めます。
t = π/ω
角度で考えるとθ=πの時なので、
t = π /ω としてもよいです。
速さもt = π /ωの時を読み取れば、
v = 0です。
もちろん、折り返し地点なので、
v=0は、わかります。
6)も同様にグラフから求めて、
t=3T/4の時です。
速度最小は中心位置になるので、
x=0です。
速度最小値は
v=－V1 = － dωです。
b.
1) 2) 初期条件は、
t=0、 x=0 、v= ―V
速度はーVです。
ちょっと動いたことを考えると、
x<0で、x=-dに向かい
v<0で、v=0に向かいます。
Oに戻るのは、T/2なので、
この区間でグラフ化します。
3) グラフから
x = ― dsin(ωt) 、 v = ― Vcos(ωt )
がわかります。
4) xを微分
sinの微分はcosなので、
v = ― dωcos(ωt )
V = dωよりdを求めます
5) x = ― dの時を
xのグラフから求めて
t = T/4
vのグラフもしくは、
振動の折り返しなので、
v = 0
6) Oに戻るのは、
t = T/2で、
v＝V = dω
となります。
c.
1) グラフから
初期条件は
x = 2d、v=0
とわかります。
よって、
2d伸ばして、静かにはなすとなります。
2) グラフを式化して
x = 2dcos(ωt) 、v = ― V1sin(ωt)
3) x微分、
cosの微分は ―sinより
v = ― 2dωsin(ωt)
比較して、
V1 = 2dω
4) 2d縮んだは、
x = ― 2dなので、
xのグラフから
t = π/ω
2dは振幅なので、
振動の折り返し
なので、
v = 0
5)
x= ―dをグラフから読み取ると、
グラフから大体はわかりますが
正確な時間はわかりません。
xの式はわかっているので、
計算します。
x= ―dより
t = 2π/3ωになりました。
vも正確にはわからないので、
vの式にt = 2π/3ω を代入して、
ｖを求めます。
d.
中心が自然長位置ではありません。
しかし、
単振動は中心から
振幅間を動く運動なので、
中心からの位置関係
（原点が中心）であれば、
今までと同じです。
1) 2) 初期条件は、
t=0で、 x = －2d、v= 0です。
今までと同じように
グラフを作成します。
3)4) も同様なので、計算してみましょう。
5) 初めて最大速さは、
vのグラフで、
最初に最大値になるのは、
t = T/4の時です。
xのグラフもしくは、
速さが最大になるのは、原点なので、
x = 0です。
6)
cの時と同じで、
グラフから時間を求めることはできません。
計算で、求めます。
x = d を xの式に入れ
時間と速度を計算します。
