単振動
スタートパターン
スタートパターンは
覚えるのではなく
感覚的に身につけましょう。
単振動の運動方程式、
一般解です。
xは振動中心を原点としています。
この式から
単振動を把握します。
振動中心を求めるときは
ばね定数でくくれば
以上の形になります。
計算例として重力がある場合です。
kでくくった()＝０とした
位置が
振動中心になります。
問題で出題される場合、
中心が１個の場合、
概ね、中心が０になるように
軸をとってあります。
ならない場合、
計算ミスのこともあるので
チェックしてみてください。
単振動 スタートパターン
一般解を用いる方法では、どのような初期条件であっても、振幅や位相を求めること
ができます。一方で、三角関数の扱いに時間がかかる場合があります。
そこで、初期条件が特殊な場合、特に位置または速度が の場合は、単振動の動きが
イメージしやすく、位置や速度の関数を簡単に求めることができます。このような
場合は、スタートパターンとして整理しておくと、単振動の式や各時刻を素早く求め
られます。スタートパターンパターンは大きく分けて 2 種類あり、正負を含めると
4 パターンになります。ただし、公式を無理に丸暗記するのではなく、立式した式と
実際の運動が対応しているかを常に確認することが大切です。
位置スタートパターン
単振動の中心から距離 dだけ伸ばす、または縮めて、静かに離す場合を位置スタート
パターンとします。このとき、初期条件は、時刻 t=0 で、x= d ,v=0
もしくは、x= -d ,v=0 になります。どちらの場合も、振幅は dです。
初期位置で値をもつ関数は cosなので、位置はx= ± dcos(ωt) と表せます。
速度は位置を時間で微分して、v= ∓ dωsin(ωt) となります。
ここで、位置、速度が問題の単振動の運動にあっているか確認が必要です。
後は、時間を求める問題であれば、例えば、中心までの時間は T ⁄ 4や、
再び静止する時間は、T ⁄ 2 になります。また、最大速さは中心を通過するときに
生じ、 ±dω と求まります。
速度スタートパターン
単振動の中心で速度を与える場合を速度スタートパターンとします。
このとき、初期条件は、時刻 t=0 で、x= 0 ,v=v_0 もしくは、x= 0,v=-v_0
になります。どちらの場合も、最大速さは v_0です。初期時刻で値をもつ関数は
cosなので、速度はv= ± v_0 cos(ωt) と表せます。位置は速度を時間で積分して、
x= ±v_0/ω sin(ωt) となります。振幅は v_0/ω と求まります。
単振動の問題は、
複合問題として出題されることが多く、
運動方程式を用いて
中心位置を求める部分が
特に難しくなります。
そのため、
問題をスタートパターンに
持ち込み、
ほとんど計算をせずに
解けるようになることが
重要です。
スタートパターンまで持ち込めたのに、
計算ミスをしてしまうのは
非常にもったいないことです。
スタートパターンに持ち込めたときには、
ここが一息つけるタイミングだと
考えると良いでしょう。