単振動標準
問題解説
単振動標準演習の解説です。
すべて、必須問題です。
解説では、普通解法と、
パターンを利用した解答も解説します。
常に一般解を解く方法でも良いです。
それほど変わりはなので
得意な方法をとってください。
a.
b.
一般解を用いて、
位置と速度の時間変化を式で表し、
グラフにします。
このとき、
初期条件から求まる角度（初期位相）は、
角度が０、π/２、π
といった単純な値にはならず、
位相が2π/3 進んでいることになります。
c. [1]
A、B それぞれについて
運動方程式を立てましょう。
今回は問題として指定されていますが、
ふだんから面倒くさがらずに、
必ず個別に立てることが大切です。
問題の状況は ですが、
負の位置で式を立てると符号の取り扱いがややこしくなります。
そのため、
必ず 正の位置（） での運動として、
運動方程式を立てるようにしましょう。
垂直抗力は作用・反作用で打ち消し合うので、
2つの式を足し合わせると、単振動の式が得られます。
一般解、初期条件から
位置の関数を求めます。
単振動の式をもとに、
各設問に解答していきます。
3) x=－1/2となるときの時間を求めます。
4) Bが離れる条件は、垂直抗力N=０
⇒x=0 となるときの時間を求めます。
5)設問 4) のときの速度を求めます。
速度の式は、振幅A,初期位相θが求まっているため
速度の一般解の式に代入して求めることができます。
また、位置xを微分して速度を求めることも可能です。
いずれにしても、vの時間の式から
速度を計算します。
[2]
A のみについて運動方程式を立て、
そこから単振動の式を導きましょう。
[1]、[2] の周期をそれぞれ計算し、
1 つのグラフにまとめて描きましょう。
なお、[2] のグラフは、
時刻
t = t_1 を時刻 0 として設定し、
その基準で式を立てて描画しています。
単振動パターンを使って解く場合の解答です。
必ずしも無理に使う必要はありませんが、
計算量を減らせるというメリットがあるため、
使い方に慣れておくと便利です。
運動方程式より、この運動は単振動であることがわかります。
初期条件が「バネをdだけ縮めて静かに離す」ことから、
これは位置確定パターンになります。
値があるのが位置(x=-d)なので,
ｘがcos関数になります。
速度は変位の時間微分をとって求めます。
3) は特徴位置でないので、xの関数から求めます。
4) は、中心位置なので初期位置から考えると、
単振動の1/4周期(T/4)になります。
5) 4)の速さ中心の速さが、最大速さになるので、
Aωもしくは、速さの式の最大位置から計算します。
[2]の単振動は、
初期条件が「中心で、5)の速さを与える」ことから、
これは速度確定パターンになります。
値があるのが速度(v=dω)なので,
Vがcos関数になります。
xはvの積分（= 微分の逆）で求められます。
6）「最大の伸び」を求めることになるため、
これはすなわち振幅Aを求めることと同義です。
よって、xの式の係数がそのまま振幅になります。
d. PDF 解説
e.
単振り子の問題で、周期を導く問題です。
1) 円運動の運動方程式を立てる際、
通常の向心方向ではなく、円周方向に注目して式を立てます。
このとき、円周方向に働く力は、重力 の円周方向成分だけになります。
2)角度 が小さいとき、 という近似が使えます。
これを代入すると、運動方程式は単振動の形になります。
3)単振動の式から角加速度の関係を読み取り、
そこから角速度と周期を求めます。
周期については、基本公式なので、
しっかり覚えておきましょう。