P－Vグラフと状態変化
P-Vグラフにおけるさまざまな状態変化の問題と、
ピストンによって気体の状態を変化させる問題を扱います。
どちらの問題も、気体が外部にした仕事、内部エネルギーの変化を計算し、
熱力学第一法則を用いて、気体が吸収する熱量を求める流れは同じです。
各物理量の求め方にはいくつかの方法があります。
問題演習を通して、状況に応じた計算方法を身につけましょう。
P-V グラフ
P-V グラフの問題、特に熱効率に関する問題では、状態推移の各過程について
熱力学第一法則に必要な、気体が吸収した熱量 Q in 、放出した熱量 Q out 、
気体が外部にした仕事 W out 、内部エネルギーの変化 ΔU の表を作ることが大事です。
表の総計では、∑ΔU=0 ,∑W out= ∑Q in - ∑ Q out
∑ W out は、P-Vグラフにおいて熱サイクルで囲まれる面積に等しくなります。
時計回りの場合は正、反時計回りの場合は負になります。サイクルで囲まれる
面積は、求められる多角形の場合は確認できます。
これらの関係が成立していない場合、どこかで計算ミスしている可能性があります。
そのため、表を作ることで計算結果をチェックしやすくなります。
この表を使って、熱効率 e=(∑W out )/(∑Q in ) を求めます。熱効率は、熱サイクルに与えた
熱量のうち気体がする仕事の割合なので、分母と分子を取り違えないように、
熱効率の定義を正確に覚えておくことが大切です。
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P-Vグラフの問題では、各状態で状態方程式を立て、各過程における熱量、内部エネルギーの変化、
気体が外部にした仕事を表にまとめることが大切です。
この問題では、サイクルに囲まれた面積を計算できるため、Σ W out が計算でき、確認で利用できます。
1)
A→Bの過程は、定積過程です。 ΔV＝０より、外部にした仕事 W out = 0 になります。
内部エネルギーの変化は、ΔU = 1×Cv×ΔT で計算します。
熱力学第一法則より、 Q in = W out + ΔU となるため、この過程で吸収した熱量を求めることができます。
2)
B→Cの過程は、定圧過程です。外部にした仕事 W out = PBΔV で計算します。
内部エネルギーの変化は、ΔU = 1×Cv×ΔT で計算します。
熱力学第一法則より、この過程で吸収した熱量を求めることができます。
3)
C→A の過程は、(P) と (V) が直線的に変化する過程です。
気体が外部にした仕事は、P-Vグラフの面積から計算します。
ΔV= (V0 ー 3V0) = ー 2V0 となり、体積変化が負になります。
したがって、W out < 0 となることに注意しましょう。
面積を利用して気体が外部にした仕事を求める場合は、体積変化の向きを必ず確認することが大切です。
内部エネルギーの変化は、ΔU = 1×Cv×ΔT で計算します。
この場合、温度が下がるため、ΔUも負になることに注意しましょう。
熱力学第一法則より、この過程で吸収した熱量を求めることができます。
4)
サイクルの熱効率は、e = (∑W out )/(∑Q in ) となり、表で整理した値を用いて計算します。
5)
T-Vグラフを描くために、各過程における温度 (T) を、体積 (V) の関数として考えます。
この関数は、状態方程式から求めるとよいです。
C→A の過程では、問題の P-Vグラフより、圧力はP = (P0/V0)V と表されます。
これを状態方程式に代入すると、温度 (T) は体積 (V) の2次関数になることがわかります。