力学のはじめとして、運動方程式を立てて問題を解く演習です。

問題は入試問題であり、このような形式で出題されることが多くあります。

難しいと感じたときは、演習1を復習し、問題で求められていることが物理的にどのような意味をもつのかを意識して考えてみましょう。

運動方程式を作成する問題です。
運動方程式に含める力は外力のみであり、その物体自身が他の物体に及ぼす力を式に含めることはできません。

外力は、接触力と、本問では重力です。

人が接触しているのは、糸と板です。　板が接触しているのは、人と地面です。
糸の張力については、糸が引く向きに注意しましょう。

人と板の間には作用・反作用の関係にある力があります。
これらをまとめて一つの系として考えると、内部力は互いに打ち消し合うため、式が簡潔になります。

最終的には人と板をまとめた運動方程式を立てることになりますが、面倒であっても、いったんそれぞれについて運動方程式を立て、

それらを加えて求めるようにしましょう。

この問題は、人が板に乗ったまま接触が保たれる場合と、板が人から離れる場合の2状態を考える必要があります。

判定は、人と板の間、板と地面の間の垂直抗力によって行います。

人が乗ったまま（接触している）の条件

人と板が接触している間は、垂直抗力 Nが存在し、N≥0が成り立ちます。

板が地面から離れる条件

糸によって板が上向きに引かれているため、板が地面から離れる条件は NG<0となります。

NG=0 は「ちょうど地面から離れようとする瞬間」を表します。

＝０は状態の継続としてとらえればよいですが、$=0$ を除外していても、本質的な考え方が正しければ大きな問題ではありません。

いくつか問題にあたって慣れていきましょう。

板が地面から離れている状態について、運動方程式を立て、加速度および垂直抗力を求めます。

このとき、外力は接触状態が変わるだけで本質的にはほとんど変わりません。
ただし、地面と板の間の垂直抗力は 0 となります。

人が板から離れない条件は、人と板の間の垂直抗力＞０となることです。
$N=0$ はちょうど離れる瞬間を表します。

台の動く水平方向を x方向、鉛直方向を y方向として、運動方程式を作成する問題です。

台が糸から受ける張力を忘れないように、台が接触している物体をすべて確認しましょう。

物体Aが台から離れるのは、物体Aが台から受ける垂直抗力Nが0になる時で、このときの FをF1とすることになります。

計算では、求めるのは垂直抗力N なので、式から張力Tを消去することを意識します。

外力の向きを逆にしたときに、糸がたるむ条件からF＝F2を求める問題です。

運動方程式はほとんど同じなので、そのままFを負として扱えば解くこともできます。
しかし、面倒でも向きを含めてもう一度式を立て直した方が、結果としてミスを防ぐことができます。
糸がたるむのは、張力T＝０となるときです。

問題文にあるように、抵抗力は速度に比例するので、kvとして運動方程式に加えます。

等速になったときは、加速度を 0 として速度を求めます。

問題では、速度－時間グラフが与えられており、t=0における接線が表示されています。

速度－時間グラフにおいて、接線の傾きは加速度を表します。

この運動では接線の傾きが時間とともに変化しますが、t=0の接線の傾きがその瞬間の加速度になります。

この加速度の値を運動方程式に代入すればよいことになります。

また、t=0では初速度が $0$ なのでv=0となります。さらに、角度θ=45°を運動方程式に代入すると、摩擦係数を求めることができます。

なお、求める値は単位を含む量なので、単位を付けて解答する必要があります。

この速度－時間グラフから読み取れることは、時間が経つと速度が一定となり、等速運動になっているという点です。

つまり、2)で求めたvf の値をグラフから読み取ることができます。

このvf =4[m/s]を 2) の式に代入して、抵抗係数 kを求めます。

この問題では、これまでのように加速度を求めて、等加速度運動の式に当てはめて速度を求めることはできません。

一見すると加速度に時間 t が含まれていないため一定のように見えますが、式の中に速度 v 含まれています。

したがって、この加速度は一定ではありません。

通常、加速度から速度を求めるには時間について積分を行います。しかし、この場合は加速度の式の中に速度 v が含まれており、

速度の式が分かっていないため、そのまま積分して速度を求めることはできません。

このように、加速度の式に速度や位置が含まれている場合には、等加速度運動の式を利用することはできません。

では、この場合、速度を求めることができないのかというと、求めることはできます。

ただし、ここから先は参考程度です。結果として速度は指数関数の形になり、

問題に示されているような関数になります。この形になることを覚えておけば十分です。

このように、抵抗力が速度に比例する運動では、速度は時間とともに指数関数的に変化します。

数Ⅲの微積分の知識があれば計算することもでき、以下のように求めます。

調整項があるため多少の変形は必要ですが、微分すると元の関数に比例する形になります。

このように、微分すると元の関数に比例する現象はよく現れます。この場合は、微分しても同じ形になる関数を思い出すとよく、

それが exです。したがって、求める関数は eの指数関数の形になります。

初期条件として、t=0で、v=0[m/s] , a=3[m/s^2],また、時間が十分に経つと速度はほぼ一定となり、その値はv=4[m/s]になります。

これらの条件を代入すると、速度vの式を求めることができ、問題に示されているグラフになります。

物体Aと板Pについて、それぞれの運動方程式を立てます。

物体Aの水平方向に働く力は摩擦力だけです。したがって、摩擦力の向きを正しく求めることが重要になります。

加速度の向きを考えると、水平方向の力は摩擦力のみなので、摩擦力の向きは加速度の向きと同じになります。

また、板Pには、この摩擦力に対する反作用の力が働くことにも注意しましょう。

この反作用を消去するために２式の和　物体A+板Pの運動方程式を作成すると、見通しが良くなります。

物体Aと板Pを一体として考えた運動方程式から加速度を求めます。

加速度が分かれば、摩擦力 f を求めることができます。

物体Aは板の上で静止しているので、このとき働く摩擦力は静止摩擦力になります。

力 F を変化させていくと、摩擦力が最大静止摩擦力 𝜇Nに等しくなったとき、物体Aが動き出す条件になります。

F が大きく、物体Aが板の上を動く場合の運動方程式を立てます。

働く力は [1] と同様ですが、摩擦力が動摩擦力となり一定になる点が異なります。

運動方程式を用いて、それぞれの加速度を求めることができます。

それぞれが床を基準にして移動した位置を図に書いて状況を整理すると、間違いが少なくなります。

物体Aが落ちるとは、板Pと物体Aの移動した位置の差が板の長さ L になることを意味します。

それぞれの移動した位置は、等加速度運動なので、時間の関数で求めることができます。

投げ上げの問題ですが、速度の向きが斜面に対する角度で与えられています。

この問題では、x 軸を斜面に平行な方向、y 軸を斜面に対して鉛直な方向にとります。

この x 軸、y 軸について運動方程式を立て、速度と位置を求めます。

やや計算量は多いですが、求める量は分かると思います。
途中式を整理しながら計算できるようにしましょう。

この問題では軸が問題文で与えられていますが、軸が示されておらず、直接斜面上の落下位置を求めさせる問題もよくあります。

そのような場合でも、このように軸をとることで、斜面に沿った量を求めやすくなることを覚えておきましょう。

このような軸の取り方でも、力学的エネルギーが一定であることを確認してみましょう。

まずは、t=t1の時の速さ^2を計算します。

計算すると、力学的エネルギーが一定になっていることが確認できます。
軸をどのようにとっても、力学的エネルギーは一定になります。

したがって、「速さを求めよ」といった問題では、力学的エネルギーを利用した方がよい場合があることを覚えておきましょう。