総合テスト2

解説

本テストは、大学入試で出題頻度が高く、確実に得点したい重要分野から出題されています。

出題範囲：

力学：　　運動方程式（摩擦）／円,重力運動

電磁気：　コンデンサ、抵抗回路

電磁気：　電磁誘導(回路,コイル、コンデンサ、抵抗)

いずれも、共通テストから難関大学入試まで幅広く問われる、標準かつ必須のテーマです。

テスト後は、間違えた問題をそのままにせず、必ず対応する説明ページ・解説ページを読み、
「なぜ間違えたのか」「どこで判断を誤ったのか」を確認してください。

理解が不十分な問題については、再度解き直し、確実に正解できる状態にすることを目標としましょう。

このテストを通じて、入試本番で落としてはいけない問題を確実に得点できる力を養ってください。

a.

[1]

(1)

物体１と物体３の衝突前後の運動量保存則、はね返り係数を用いて速度と求めます。

物体２は物体１に固定されていないので、物体２には、衝突の力は影響しないので、
運動量保存則には、物体２は含めません。

[2]

2) , 3)

両者が別々に動く場合(0 < t < TA)、外力の向きに注意して、それぞれについて運動方程式を立て、
加速度 a1 , a2 を求めます。　

外力の向きを間違えた場合は、「外力の求め方」を参考にして、もう一度確認しましょう。

4)

両者が一体で動く場合( TA< t < TB)、同じように運動方程式を立て加速度を求めます。

5)

2つの等加速度運動から速度を求め、グラフにします。
グラフでは、a1とa1'の大きさに注意しましょう。

6 )

7 )

2) , 3) 4) の結果を、6)に代入して求めます。
TBについては、力積の関係が成り立っていることを確認しましょう。

8 )

物体2が物体1からはみ出さない条件は、t=TAまでに、物体2の左端の位置と物体1の左端の位置を比較すればよい。

実際にはみ出す場合などを検討して、条件を式で表します。

t=TAのときの物体1、物体2の位置x1,x2 を計算し、はみ出さない条件に代入して求めます。

距離については、4)で速度、時刻のグラフを作成したので、式で計算するよりも、グラフの面積から求めた方が効率的です。
グラフの面積から距離が求められることも、演習しておきましょう。

9 )

x1'の計算は、グラフの面積から求めることにします。黄色の部分の面積を求めればよいことになります。

一方、x2'は比較的簡単に求めることができますが、物体2は物体1の上を動いているため、

その分の距離を加えることを忘れないように注意しましょう。

10 ) 11 )

摩擦力のする仕事は、接触面における相対変位に対する仕事であり、静止摩擦力のする仕事は 0 になります。

摩擦力のする仕事は負で、摩擦によって失われるエネルギーは
（摩擦力の大きさ）×（相対距離）で表されます。

仕事の正負や相対距離については、試験中に考えると混乱しやすいため、この形のまま覚えておきましょう。

$E_{1}, E_{2}$ をそれぞれ計算します。
問題には直接関係ありませんが、

b.

[1]

2)

3)

[2]

衝突のたびに、速さは反発係数e倍になります。

一方、衝突と衝突の間の運動では、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。

n回目の衝突で斜面に戻るためには、ループを 1周できる条件を満たす必要があり、これは 2）と同様に求めることができます。

[3]

5)

衝突は、運動量保存則とはね返り係数を用いて扱います（弾性衝突では e=1）。

特に、質量が等しい2物体の弾性衝突では、衝突前後で速度が交換されることを知っておくと、計算を大幅に簡略化できます。

6)

張力は運動方向に対して常に垂直であるため、仕事は 0 です。

力学的エネルギー保存則を用いて、B 点での速度を求めます。

高さについては、hcos60°から計算しますが、

60°の場合は、常に正三角形を思い浮かべて長さをイメージするとよいでしょう。

7 )

7）以降は糸の張力がなくなり、外力は重力のみになります。
初期条件を用いて速度と位置を時間の関数として求め、問題を解いていきます。

c.

スイッチ S2が開いているので、コンデンサ側には電流は流れません。

抵抗を流れる電流はすべて同じとして扱います。

電荷は、青で囲った部分について電荷保存則が成立します。

回路方程式を作成して、電荷、電流を求めます。

S2を閉じると、S2を通って電流が流れ、各コンデンサの電荷は時間とともに変化します。

十分時間が経つとコンデンサには電流が流れなくなるため、2つの抵抗を流れる電流は同じになります。

回路方程式を3本立てて、電流と電荷を求めます。

S２を流れた電荷は、電荷の変化を求めればよく、電荷の正負に注意して計算します。

[2]

S1を開き、S2を閉じて十分時間が経過すると、回路に電流は流れなくなります。

このとき、囲いで示した部分には電流の出入りがないため、電荷保存則が成立します。

回路方程式を立てて、各電荷を求めます。a→bを通過した電荷は、電荷の変化量から求めればよく、

Q' = q1' - q1"でも求めることができます。

回路で発生するジュール熱は、コンデンサの静電エネルギーの差から求めます。

問題で求めるのは R2で発生するジュール熱です。

各抵抗に流れる電流は同じなので、各抵抗で発生するジュール熱は抵抗値の比になります。

d.

[1]

[2]

[3]