力学演習
仕事とエネルギー
基本問題解説
a、b：基本問題
c、d：標準問題
運動エネルギーの変化は、外力のした仕事によって生じること、また、力学的エネルギー保存則について確認する演習です。
さまざまな外力のした仕事の求め方をできるようにしましょう。
a.
1) 運動エネルギーの変化は、外力のした仕事に等しい。ここで外力は重力だけであるから、重力のした仕事は mgh となる。
2) 力学的エネルギー保存則より、P点とQ点では力学的エネルギーが等しい。
b.
c.
1)
この場合、摩擦力は動摩擦力であり、f=μNです。
2)
ばねの力は位置に比例して変化し、一定ではないので、仕事を 力×距離で求めることはできません。
したがって、積分で求める必要があります。
あるいは、位置エネルギーの差 = －ばねのした仕事、を用いて求めます。
また、摩擦力は一定なので、摩擦力のした仕事は、摩擦力の大きさ × 距離で求めることができます。
ただし、進行方向と逆向きにはたらくため、仕事は負になります。
3)
運動方程式において、ma の項は運動エネルギーの変化に対応し、外力の項は外力のした仕事に対応する。
したがって、1) で求めた外力の和による仕事が、運動エネルギーの変化になります。
4)
2) 3) と同様に、PからQまでに外力のした仕事を計算します。
P点、Q点ではともに停止しているので、運動エネルギーの変化は 0 である。
5)
この運動は単振動であり、運動方程式からその中心を求めることができます。P点とQ点の中点が中心となるので、
Q点の位置を求めることができます。
この問題は、エネルギーの観点から位置を求める問題です。
d.
3次元の仕事は、各区間における移動ベクトルと力のベクトルの内積を求め、それを全区間で足し合わせて求めます。
力の向きと移動方向が異なる場合の仕事も、移動ベクトルと力のベクトルの内積で求めることができます。
ベクトルの内積を学んでいない場合は、力の移動方向成分を求め、それに移動距離を掛けて求めることができます。
斜面方向と、斜面に垂直な方向について、それぞれ運動方程式を立てます。
この場合の摩擦力は動摩擦力であり、f=μN です。
ここで、F には鉛直成分もあるため、f=μmgcos30°とはならないことに注意が必要です。
摩擦力を誤ると以降の問いも誤ってしまうので、摩擦力を求めるときは、
常に斜面に垂直な方向の運動方程式から N を正しく求めるようにしましょう。
1) ～ 4)
各外力のした仕事をそれぞれ求めます。各外力ごとに、移動の結果から移動ベクトルを考えて仕事を求めても問題ありませんが、移動方向の運動方程式をすでに立てているので、運動方程式に現れる各外力に移動距離を掛けて求めたほうが、間違いは起こりにくいです。
また、垂直抗力は移動方向と垂直であるため、その仕事は 0 になります。
5)
4) までに各外力のした仕事をそれぞれ計算しているので，それらの和が運動エネルギーの変化になります。
この運動エネルギーの変化から，到達時の速度を求めます。